Die Schauspielerei verfolgte Blum schon in seiner Jugendzeit. In den 70er Jahren begann er auf der Theaterbühne zu spielen. Später führte ihn seine Karriere ins Film-Business. Blum wurde durch Hollywood-Filme wie "Lovestick", "Desperately Seeking Susan" und "Crocodile Dundee" bekannt. Im Fernsehen war er Mitte der 1980er Jahre in der amerikanischen Sitcom "Sweet Surrender" zu sehen. Außerdem spiele er in vielen Stücken am Broadway, wie zum Beispiel in "Lost In Yonkers", "The Best Man" und "The Assembled Parties". Zuletzt verkörperte er in der Netflix-Serie "You", die Rolle des Buchhändlers Ivan Mooney.